DU BREVET AU BAC

Prépabac, examen2017 · Mar Juin 15, 2010 3:32 pm

La démonstration

Introduction

La notion de démonstration s’élabore au sein de la géométrie : elle désigne un enchainement nécessaire des énoncés, de telle sorte que des propositions puissent être reconnues comme vrais dans la mesure où elles sont liées en fonction de procédures valides à d’autres propositions vraies, ainsi qu’à des principes reconnus ou admis comme évidents. La proposition se distingue de l’argumentation : elle expose un processus nécessaire du vrai. Mais la nécessité que l’on prête à la démonstration porte t’elle sur les liaisons logiques de manière purement formelle ou sur la vérité, au sens de la signification des propositions et de leur accord avec la réalité ? La démonstration est-elle une exposition synthétique et bien ordonnée, où la solidité des liaisons logiques comme leur validité laissent transparaitre la vérité des choses ? L’ordre et l’enchainement des idées est-il le même que l’ordre et l’enchainement des choses ainsi que le pense Spinoza : « en effet, les yeux de l’esprit par le moyen desquels il voit les choses et les observe, ce sont les démonstrations elles-mêmes » éthique, V. Mais cette interprétation ontologique de la démonstration risque d’oublier le sens de sa provenance géométrique, avec Euclide, et de dévaluer le travail des mathématiques, qui se voient accusées d’avoir recours à des procédés formels et à des évidences non interrogées, d’où résultent la séparation entre l’idée et son correspondant extérieur . La démonstration serait marquée par une série de constructions artificielles qui ruinent la logique interne de la pensée, au profit d’une pédagogie de la conviction, laquelle reste extérieure à son objet. La démonstration au sens géométrique n’est pas séparable des difficultés qui la constituent et des obstacles qu’elle tente de surmonter. Qu’en est-il dans ces conditions, de la saisie des premiers principes ? Faut-il faire appel à une appréhension intuitive distincte de la discursivité ou à un raisonnement par l’absurde ? De même, on s’interrogera sur le sens de l’indémontrable : évidence première qui excède toute démonstration ou proposition conventionnellement posée au départ d’un système forme ? La frontière entre l’indémontrable et le non encore démontré est elle-même mouvante, chercher à la repousser nous a conduit à découvrir une pluralité de systèmes hypothético-déductifs. Quelle leçon philosophique pouvons-nous tirer de cette impossibilité de créer des systèmes formels auto suffisants ? La démonstration n’est-elle qu’un moyen parmi d’autres de rechercher la vérité ?

Démontrer
La démonstration consiste à faire voir. En anatomie, la démonstration consiste à disséquer. En général, la démonstration de force consiste à montrer sa force devant l’ennemi, les démonstratifs en grammaire désignent ce que l’on montre. Il ne s’agit pas seulement d’indiquer ou de constater mais de prouver en montrant quelques choses comme dans le domaine juridique où l’on montre une pièce à conviction ou lorsque l’on produit un témoignage qui servira de preuve de façon irrécusable, explicite. Il s’agit de faire étalage de sa force comme un pays qui fait défiler ses chars devant la frontière d’un pays ennemi, pas de s’en servir. Avec une démonstration, on montre et on expose les tenants et les aboutissants d’un raisonnement. On fait appel à la raison, on fait apercevoir des raisons, démontrer, c’est aussi expliquer, on parle d’une leçon en anatomie, de plaidoyer dans le domaine juridique. IL faut donc expliquer et exposer pour que la chose que l’on montre devienne une preuve et que l’on démontre quelque chose. IL ne suffit pas de produire la chose, il faut la faire entrer dans un raisonnement où l’on peut conclure quelque chose. Les raisons résident dans l’enchainement des faits que l’on montre.

Démonter est ce argumenter ?
Qu’est ce qui caractérise l’argumentation et la distingue de la déduction ? L’argumentation fait appel à la logique et à des déductions. Dans l’argumentation, des faits, des choses, des témoignages contingents sont des indices en faveur d’une thèse pour la défendre. Les preuves ne s’imposent pas d’elle memes, une preuve reste extérieure aux autres preuves et à ce qu’elle prouve. Les faits restent isolés les uns des autres, on attend qu’ils convergent. Ils renforcent une opinion. Les événements ne s’enchainent pas mais s’accumulent, se renforcent jusqu’au moment où ils entrainent la conviction. L’argumentation se situe dans le cadre de l’argumentation dialectique au sens d’Aristote, confrontation des opinions contraires. La preuve dans l’argumentation est un vérification, une confirmation d’une opinion par un fait, quelque chose que l’on peut mettre sous les yeux.
Dans une démonstration, il ne s’agit pas de vérifier ou d’infirmer un fait, on ne se contente pas d’une exigence faible de vérité. La démonstration a pour finalité de trouver le moyen de se situer dans le vrai et d’y rester. Partant du vrai, je reste dans le vrai. Mais d’où viennent ces choses vraies ? La vérité démonstrative n’est pas de l’ordre de l’exactitude, choses avérées, vérifiées. La simple exactitude n’est qu’une conformité à l’opinion. La vérité démonstrative est indépendante de celui qui la dit, l’admet ou la reconnait. Il n’y a pas à argumenter dans un savoir authentique. Le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés de l’angle droit est une vérité qui n’est pas de l’ordre de la discussion. Trouver les propriétés d’une figure géométrique ne consiste pas pas à les discuter. Ces propriétés appartiennent à la nature du triangle, il faut et il suffit de suivre la façon dont la chose s’organise. Tout corps qui se meut tend à continuer son mouvement en ligne droite. La démarche démonstrative dépend finalement de notre capacité d’avoir des idées claires et distinctes. A chaque pas de la démonstration, je me rapporte à une conception claire et distincte que j’ai préalablement. Pourquoi alors exprimer ces vérités sous forme de démonstration ? Nous voulons que ces idées forment un ordre déductif. Avoir des idées claires et distinctes ne suffit pas nous voulons qu’elles résultent des principes de principes, qu’elles forment un système où les vérités sont enchainées les unes aux autres.

Voir le cogito cartésien
D'où vient la certitude mathématique ?
La connaissance ne peut être obtenue que par expérience ou déduction; l'expérience est trompeuse. Quant à la déduction, elle ne peut jamais être mal faite même par l'esprit le moins doué de raison, nous dit Descartes dans les Régula II. Il faut une intuition immédiate, un principe à partir duquel la déduction est possible. L'intuition est directe, c'est une nature simple, l'expérience métaphysique de la vérité absolue, innée, originaire. L'intuition est l'expérience des natures simples. Il n'est d'absolue certitude que de l'intuition. L'erreur ne pouvant se glisser dans l'intuition des natures simples, l'erreur ne peut alors venir que de la façon dont s'exerce la composition. L'intuition est le fondement de toute science suivie de la déduction car, «il n'y a que deux actes de l'entendement par lesquels nous puissions parvenir à la connaissance des choses sans nulle crainte de nous y tromper, l'intuition et la déduction», Régula II.

Les mathématiques, un modèle de rigueur démonstrative
La vérité mathématique constitue bien le modèle initial de toute vérité possible et Descartes en confirme la pureté : les mathématiques traitent d’un objet assez pur et simple pour n’admettre absolument rien que l’expérience ait rendu incertain », et elles consistent « en une suite de conséquences déduites par raisonnement ». Leur clarté provient donc de leur distance relativement aux « expériences trompeuses » et de ce que la déduction, ou inférence, « ne saurait être mal faite même par l’entendement le moins capable de raisonner ».

A priori et vérités
La démonstration mathématique a pourtant été précédée par des pratiques empiriques. La géométrie est initialement mesure du sol.
Démontrer, c’est n’admettre comme nécessité que celle dont décide la raison elle-même. C’est donc, comme l’a montré Kant, travailler sur des notions entièrement a priori qui ne doivent leurs propriétés qu’à leurs définitions et à ce qu’elles impliquent. Les propriétés d’une figure géométrique ne dépendent donc pas de ce que son dessin me suggère, mais uniquement de sa définition conceptuelle et de ce qui peut en dériver.
C’est parce que les mathématiques ne dépendent que de l’activité de la raison qu’on a longtemps pensé qu’elles se fondaient sur des propositions irréfutables, « évidents » et universelles : contredire de tels axiomes, du genre, le tout est plus grand que la partie, signalerait un déni de rationalité, et la vérité produite par le raisonnement mathématique ne pouvait être qu’unique.
La démonstration mathématique qui a besoin de poser des notions et des propositions « premières », confirme, ce que soulignait déjà Aristote, que la pensée ne peut pas régresser à l’infini : il lui faut des points de départ, les idées innées, de Descartes.
Ces points de départ varient d’un philosophe à l’autre, en fonction du contexte intellectuel, de l’avancée des savoirs, de l’état de société. Ils constituent des sortes d’axiomes intuitifs, en eux-mêmes indémontrables, à partir desquels chaque système philosophique est élaboré, qu’il s’agisse de l’opposition entre sensible et intellectuel chez Platon ou de l’antériorité de l’existence sur l’essence chez Sartre.
La démonstration philosophique consistera alors à déduire tout ce qui est possible de ces axiomes et définitions dont la portée et le sens ne devront pas varier.
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Du BREVET AU BAC

prepabac,philo 2018 · Mer Fév 18, 2015 1:04 pm

Démontrer peut-il être superflu ?

*** Devoir de Yasmine, Terminale S

Lors de cours de mathématiques, les professeurs apprennent a leurs élèves que la démonstration est plus importante que son résultat. Cependant, les élèves ne trouvent pas toujours l'utilité et l'importance de la démonstration face à l'importance du résultat, de la conclusion. La démonstration a-telle donc un caractère superflu a leurs yeux ? La démonstration est un procédé dont le but est de réaliser un raisonnement logique, s'appuyant sur des preuves permettant d'aboutir à une conclusion, un résultat, une vérité. Cette dernière peut-elle être superflue ? Superflue dans le sens d'excéder le nécessaire, ce qui est en plus. À première vue elle semble bien l'être. Par ailleurs, il y a des disciplines où elle est fondamentale, comme dans les sciences. Ainsi le problème qui se pose est le suivant : un raisonnement logique pour atteindre une conclusion, est-il dans la capacité d'excéder le nécessaire ? Nous allons essayer de répondre au problème : La démonstration n'atteint-elle pas sa propre limite ? Dans un premier temps nous verrons que la démonstration est superflue, ensuite nous expliquerons que la démonstration n'est pas superflue et ensuite qu'elle est toujours basée sur une évidence.

Certaines choses paraissent si évidentes à tous les hommes qu'elles n'ont pas besoin d'être démontrée. Prenons 2+2, il est clair que le résultat de cette addition est 4, tant bien qu'ici, une démonstration serait inutile. Elle serait superflue. Il y a donc des opinions, idées qui sont communes à tous les Hommes et qui ne nécessitent pas de démonstration.

Un autre exemple pourrait être pris chez Descartes pour qui l'existence de soi-même est une évidence. Elle ne peut être démontrée, c'est une intuition. Elle est une vérité, mais pour laquelle une démonstration ne se pose pas. C'est donc ainsi que certaines vérités ont le caractère d'être connaissables par elles-mêmes. C'est-à-dire que pour admettre leur existence une démonstration n'est pas nécessaire

L'existence de dieu est une certitude chez toutes le religions monothéistes. Les preuves telles que les livres sacres, ne sont pas assez pour permettre de démontrer l'existence de dieu. Or il n'y a pas de véritable raisonnement logique qui peut être fait pour aboutir à la conclusion que dieu existe ou non. Si on essaye de démontrer l'existence de dieu le raisonnement aboutit souvent à une incertitude. C'est pour cela que les croyants décident de considérer comme évident l'existence de dieux. Qui leur permettra d'atteindre le paradis après la mort ou non. Cependant, certaines choses restent inconnues jusqu'à l'aboutissement de la démonstration.

Par définition la démonstration permet d'atteindre la vérité. Ceci peut être observe lorsque Kant essaye de démontrer ce qu'est l'art. Sa démonstration consiste à trouver ce que l'art n'est pas pour pouvoir en tirer une conclusion et définir l'art. Or, la définition de l'art se forme grâce au raisonnement, par élimination fait par Kant. S'il n'y avait pas de démonstration Kant n'aurai jamais pu conceptualiser la notion d'art. Dans le cas suivant, mais aussi dans des cas généraux la démonstration n'est pas superflue.

Prenons la philosophie, cette discipline n'a pas de but. En tout objectivité, elle ne sert à rien. La philosophie n'apporte pas de vérités ni de solutions. Toute son essence repose dans la réflexion du philosophe. Les questions en philosophie sont plus importantes que les réponses. Ainsi, le chemin que prend le philosophe pour essayer d'aboutir à une solution, le questionnement qui a lieu sont les éléments les plus importants de la démarche philosophique. Pour une matière telle que la philosophie la démonstration est loin d'être superflue, elle est même nécessaire.

De même, Platon, dans ses Dialogues, utilise le personnage de Socrate pour permettre aux autres personnages de faire une démonstration par eux-même. Par exemple, Alcibiade n'est pas prêt pour être dirigeant de la Polis aux yeux de Socrate. Or, pour le croire, Socrate doit lui faire faire la démarche lui permettant de tirer une telle conclusion. À travers la maïeutique, Socrate pose des questions auxquelles Alcibiade répond pour en tirer une conclusion et donc atteindre la vérité. Dans le cas ou une personne cherche à convaincre les autres, la démonstration devient nécessaire.

Cependant, une démonstration X, se base sur des faits démontrés lors d'une démonstration Y, qui elle repose sur un principe démontré à travers une démonstration Z qui elle n'est qu'une simple évidence. Chez Aristote, suite à une régression dans les démonstrations, il y aura toujours un moment où on atteindra un principe indémontrable, une évidence. Les démonstrations sont-elles donc toutes basées sur des évidences ? Une démonstration peut-elle vraiment être, une démonstration au sens propre ?

Dans le domaine de la science, la démonstration est un élément de base. La succession d'éléments logiques amène à la validation d'une thèse. Mais amène-t-elle à la vérité ? Si l'ont prend la démonstration pas syllogisme suivant : Tous les chats sont mortels. Socrate est mortel. Donc Socrate est un chat. La démonstration, suit bien un enchaînement d'éléments logiques or le résultat de la démonstration n'est pas juste. Ce n'est pas une vérité. Ainsi la démonstration ne mène pas toujours à la vérité absolue. C'est pour cela que la trace de la démonstration permet, dans le domaine de la science par exemple de revenir sur les conclusions tirées et les altérer pour pouvoir les actualiser. Bertrand Russel ?

En prenant la théorie de l'évolution, on peut remarquer les certitudes changent presque tous les ans. Ces conclusions sont bases sur des observations, cependant elles ne sont pas complètes. Il n'y a pas assez d'éléments qui permettent de mettre en place une démonstration rationnelle. De ce fait, suite à chaque découverte, permet de revenir sur la démonstration précédente, il y a donc une évolution des conclusions. De ce fait, la vérité ne peut être vraiment atteinte à travers la démonstration. Ce qui relèverait donc de son caractère superflu. Cependant, sans démonstration les certitudes ne peuvent pas être crées et validées.

Pour conclure, la démonstration est superflue dans la mesure ou ce qui veut être démontré est évident, ou qu'il est acquis comme l'existence ou non de Dieu. Cependant, elle reste nécessaire dans des domaines comme, la philosophie et les sciences. De plus, les conclusions reposent aussi dans la démonstration en elle-même. Cependant, la démonstration, de manière régressive aboutira toujours à un moment où elle sera basée sur des éléments observes, évident, admis, soit non démontrés. D'où la création d'un problème entre le caractère rationnel et logique de la démonstration et sa réelle application.
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Intervenant en philosophie
Lycée, séries générales et technologiques
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prepabac,philo 2018 · Sam Mar 28, 2015 9:43 pm

Questionnaire sur la démonstration :

Bac S

*** Toutes les réponses aux questions du document sont dans le cours

Questionnaire idéal pour étudier le thème de la démonstration pour le bac S

Le questionnaire

Les premières notions du cours

1 -

Que désigne la démonstration?

(un exemple : le cogito : je pense donc je suis)

2 -

Qu'est-ce que le processus nécessaire du vrai?

Je pense donc je suis

Donc = conjonction nécessaire qui relie l'existence à la pensée

Si j'existe alors je pense

Pour penser, il faut être

De l'existence Descartes déduit la pensée : l'existence est une évidence, elle a en elle la clarté et la distinction, elle ne peut donc pas être fausse

3 -

La démonstration est-elle toujours vraie d'un point de vue formel et matériel?

Démontrer est-ce argumenter?

1 -

Démontrer, est-ce vérifier ou infirmer un fait?

2 -

Est-ce une exigence faible de la vérité?

3 -

La démarche démonstrative dépend t'-elle de notre capacité à avoir des idées claires et distinctes?

Le cogito cartésien

D'où vient la certitude mathématique?

1 -

La déduction peut-elle être trompeuse selon Descartes au même titre que l'expérience?

2 -

Sur quoi repose une déduction?

3 -

Cela garantit-il la véracité de la déduction?

4 -

Quels sont les deux actes de l'entendement par lesquels l'homme peut s'élever à la connaissance?

Les mathématiques, un modèle de rigueur démonstrative

1 -

Le modèle mathématique est-il le modèle initial de toute vérité possible?

A priori et vérités

1 -

La démonstration mathématique a t'-elle besoin de poser des points de départs ou notions premières?

Oui les axiomes intuitifs sont eux-mêmes indémontrables.
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